Đưa Dạng Toàn Phương Về Dạng Chính Tắc

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Có mang dạng toàn phương:

1.1 Định nghĩa: Dạng toàn phương n đổi mới

*
là 1 trong hàm bậc nhị dạng:

*
(1)

với những hệ số

*
là những số thực và các biến
*
là những biến thực.

Bạn đang xem: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Nếu ta ký kết hiệu:

*
, A = \left< \beginarraycccc a_11 và a_12 và \ldots & a_1n \\ a_21 và a_22 và \ldots & a_2n \\ \ldots & \ldots và \ldots và \ldots \\ a_n1 & a_n2 & \ldots và a_nn \\ \endarray \right> , a_ik = aki " class="latex" /> , chăm chú A là ma trận đối xứng.

Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương nghỉ ngơi dạng ma trận sau:

*
(các bạn có thể kiểm tra bằng cách nhân trực tiếp)

Ma trận A được điện thoại tư vấn là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng toàn phương bao gồm dạng ma trận đối xứng.

Ví dụ 1: mang đến hàm bậc hai

*
. Rõ ràng, f(x) là dạng toàn phương. Ma trận A gồm dạng:
*
" class="latex" />

Ví dụ 2: cho hàm bậc nhị

*
. Rõ ràng, g(x) là dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương gồm dạng:
*
" class="latex" />

1.2 Dạng toàn phương bao gồm tắc:

Một dạng toàn phương bao gồm tắc là dạng toàn phương mà lại trong biểu thức xác định không chứa những tích

*
nhưng chỉ chứa các số hạng bình phương
*

Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là một ma trận chéo.

Xem thêm:

Ví dụ:

*
là một dạng toàn phương chủ yếu tắc.

2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

2.1 phương thức ma trận trực giao:

Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trận của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽ chuyển được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.

Mặt khác, A là ma trận đối xứng phải ta tất cả A luôn có n giá trị riêng thực, và các VTR ứng với những giá trị riêng khác biệt đều trực giao cùng với nhau. Lúc đó, nếu phường là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéo của A thì ta có:

*
(trong kia
*
). Vậy hoàn toàn có thể chuyển A về dạng chéo , nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chủ yếu tắc

Định lý:

Cho dạng toàn phương

*
, cùng với A là ma trận vuông đối xứng cấp n với những giá trị riêng rẽ
*
và p là ma trận trực giao làm chéo cánh hóa A:
*

Khi đó, bằng phương pháp đổi thay đổi

*
ta chuyển dạng toàn phương về dạng bao gồm tắc sau:

*

Chứng minh:

Thật vậy ta đặt :

*

Ta có:

*

Rõ ràng

*

Vậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và triển khai phép đổi biến, ta sẽ mang lại dạng toàn phương bao gồm tắc.

Ví dụ: mang lại dạng toàn phương

*

Ma trận của dạng toàn phương là:

*
" class="latex" />

Giải phương trình đặc thù của ma trận A, ta tất cả ma trận A gồm 2 cực hiếm riêng

*
là nghiệm kép.

Với

*
Vectơ riêng biệt ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
*

Hay ta bao gồm hệ phương trình:

*

Từ kia : VTR có dạng:

*
và ta gồm 2 VTR hòa bình tuyến tính là:
*

Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn:

*
, c_2 = \left<\beginarrayr \dfrac1\sqrt6 \\ \dfrac1\sqrt6 \\ \dfrac2\sqrt6 \\ \endarray \right> " class="latex" />

Với

*
Vectơ riêng biệt ứng cùng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
*

Hay ta có hệ phương trình:

*

Giải hệ này ta được VTR tất cả dạng:

*
và ta có một VTR độc lập tuyến tính là:
*
. Rõ ràng,
*

Chuẩn hóa vectơ

*
ta có:
*
" class="latex" />

Vậy dạng toàn phương thiết yếu tắc là:

*

Và ma trận p. Có dạng:

*
" class="latex" />

Và phương pháp đổi biến là:

*
= P^T . \left<\beginarrayc x \\ y \\ z \\ \endarray \right> " class="latex" />

Hay:

*

Nhận xét: phương pháp trực giao hóa đòi hỏi phải tìm các giá trị riêng. Đây là vấn đề khá nặng nề khăn so với phương trình bậc cao không có nghiệm đặc biệt. Bởi vì vậy, cách thức này hay chỉ vận dụng cho dạng toàn phương 2 biến, 3 đổi thay hoặc 4 biến. Mặc dù nhiên, cách thức này đang đặc biệt hữu ích khi họ nghiên cứu những đường cùng mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều (sẽ đề cập cụ thể ở phần sau)